三角学示例

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1

从左边开始。

$1 - \tan^{2} (x)$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$1 - \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1 - \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$1 - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{\cos (x)}^{2} - (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用余弦倍角公式。

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$ 是一个恒等式

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