三角学示例

$1 + \cot^{2} (- x) = \csc^{2} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$1 + \cot^{2} (- x)$

解题步骤 2

因为 $\cot (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\cot (- x)$ 重写成 $- \cot (x)$ 。

$1 + {(- \cot (x))}^{2}$

解题步骤 3

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 3.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$1 + {(- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 1 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

将勾股恒等式反过来使用。

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 $\csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x)$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$1 + \cot^{2} (- x) = \csc^{2} (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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