三角学示例

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

解题步骤 1

从右边开始。

$\sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

对 $\sec (t)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - \csc^{2} (t)$

解题步骤 2.2

对 $\csc (t)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

解题步骤 2.3

对 $\frac{1}{\cos (t)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

解题步骤 2.4

对 $\frac{1}{\sin (t)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 3

化简每一项。

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 4

减分数。

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解题步骤 4.1

要将 $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 4.2

要将 $- \frac{1}{\sin^{2} (t)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

解题步骤 4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)$ 的形式。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 乘以 $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ 。

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ 。

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)}$

解题步骤 4.3.3

重新排序 $\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ 的因式。

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin^{2} (t) - \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

解题步骤 5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sin (t)$ 和 $b = \cos (t)$ 。

$\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

解题步骤 6

将 $\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$ 重写为 $\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$ 。

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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