三角学示例

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)} = \frac{\tan (b)}{\cot (a)}$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (a)$ 。

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)}$

解题步骤 2.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (b)$ 。

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\cot (b) - \cot (a)}$

解题步骤 2.3

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (b)$ 。

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \cot (a)}$

解题步骤 2.4

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (a)$ 。

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ .

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ 乘以 $\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}$ 。

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $\cos (a)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ 中分解出因数 $\cos (a)$ 。

$\frac{\cos (a) (\cos (b) \sin (b) \sin (a)) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$\frac{\cos (b) \sin (b) \sin (a) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.2

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (b) \sin (b) ({\sin (a)}^{1} \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.3

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (b) \sin (b) ({\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1}) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{1 + 1} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.6

约去 $\cos (b)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $- \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{- \sin (b)}{\cos (b)}}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.6.2

从 $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ 中分解出因数 $\cos (b)$ 。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (b) (\cos (a) \sin (b) \sin (a)) \frac{- \sin (b)}{\cos (b)}}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.6.3

约去公因数。

解题步骤 3.3.6.4

重写表达式。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (b) \sin (a) (- \sin (b))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.7

对 $\sin (b)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- ({\sin (b)}^{1} \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.8

对 $\sin (b)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- ({\sin (b)}^{1} {\sin (b)}^{1}))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{1 + 1})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.11

约去 $\sin (b)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.11.1

从 $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ 中分解出因数 $\sin (b)$ 。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\sin (b) (\cos (a) \cos (b) \sin (a)) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.11.2

约去公因数。

解题步骤 3.3.11.3

重写表达式。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) \cos (b) \sin (a) \cos (b) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.12

对 $\cos (b)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) ({\cos (b)}^{1} \cos (b)) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.13

对 $\cos (b)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) ({\cos (b)}^{1} {\cos (b)}^{1}) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{1 + 1} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 3.3.16

约去 $\sin (a)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.16.1

将 $- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

解题步骤 3.3.16.2

从 $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ 中分解出因数 $\sin (a)$ 。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \sin (a) (\cos (a) \cos (b) \sin (b)) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

解题步骤 3.3.16.3

约去公因数。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \sin (a) (\cos (a) \cos (b) \sin (b)) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

解题步骤 3.3.16.4

重写表达式。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) (- \cos (a))}$

解题步骤 3.3.17

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- ({\cos (a)}^{1} \cos (a)))}$

解题步骤 3.3.18

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- ({\cos (a)}^{1} {\cos (a)}^{1}))}$

解题步骤 3.3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{1 + 1})}$

解题步骤 3.3.20

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

解题步骤 3.4

从 $\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})$ 中分解出因数 $\sin (b) \sin (a)$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2}$ 中分解出因数 $\sin (b) \sin (a)$ 。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

解题步骤 3.4.2

从 $\cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})$ 中分解出因数 $\sin (b) \sin (a)$ 。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \sin (b) \sin (a) (\cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

解题步骤 3.4.3

从 $\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \sin (b) \sin (a) (\cos (a) (- \sin (b)))$ 中分解出因数 $\sin (b) \sin (a)$ 。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

解题步骤 3.5

从 $\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})$ 中分解出因数 $\cos (a) \cos (b)$ 。

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解题步骤 3.5.1

从 $\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a)$ 中分解出因数 $\cos (a) \cos (b)$ 。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

解题步骤 3.5.2

从 $\cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})$ 中分解出因数 $\cos (a) \cos (b)$ 。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (b) (- \cos (a)))}$

解题步骤 3.5.3

从 $\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (b) (- \cos (a)))$ 中分解出因数 $\cos (a) \cos (b)$ 。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a) + \sin (b) (- \cos (a)))}$

解题步骤 3.6

重新排列项。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \cos (a) \sin (b))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \sin (b) \cos (a))}$

解题步骤 3.7

约去 $\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \cos (a) \sin (b)$ 和 $\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \sin (b) \cos (a)$ 的公因数。

$\frac{\sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b)}$

解题步骤 4

重新排序项。

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \cos (b)}$

解题步骤 5

将 $\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \cos (b)}$ 重写为 $\frac{\tan (b)}{\cot (a)}$ 。

$\frac{\tan (b)}{\cot (a)}$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)} = \frac{\tan (b)}{\cot (a)}$ 是一个恒等式

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