三角学示例

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

解题步骤 2

使用两角和公式。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

解题步骤 3

使用两角和公式。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

解题步骤 4

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x - y)}$

解题步骤 5

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

因为 $\cos (- y)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- y)$ 重写成 $\cos (y)$ 。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

解题步骤 6.1.2

因为 $\sin (- y)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- y)$ 重写成 $- \sin (y)$ 。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

解题步骤 6.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

解题步骤 6.1.4

将 $\sin (x) \cos (y)$ 和 $\sin (x) \cos (y)$ 相加。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

解题步骤 6.1.5

从 $\cos (x) \sin (y)$ 中减去 $\cos (x) \sin (y)$ 。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + 0}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

解题步骤 6.1.6

将 $2 \sin (x) \cos (y)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

因为 $\cos (- y)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- y)$ 重写成 $\cos (y)$ 。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y)}$

解题步骤 6.2.2

因为 $\sin (- y)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- y)$ 重写成 $- \sin (y)$ 。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y))}$

解题步骤 6.2.3

乘以 $- \sin (x) (- \sin (y))$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 6.2.4

将 $\cos (x) \cos (y)$ 和 $\cos (x) \cos (y)$ 相加。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 6.2.5

将 $- \sin (x) \sin (y)$ 和 $\sin (x) \sin (y)$ 相加。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) + 0}$

解题步骤 6.2.6

将 $2 \cos (x) \cos (y)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

解题步骤 6.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

解题步骤 6.4

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

解题步骤 6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x)$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$ 是一个恒等式

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