三角学示例

$\frac{2 \tan (\frac{5 π}{6})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{2 (- \tan (\frac{π}{6}))}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

解题步骤 1.2

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

解题步骤 1.3

合并指数。

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解题步骤 1.3.1

提取负因数。

$\frac{- (2 \frac{\sqrt{3}}{3})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

解题步骤 1.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \tan (\frac{5 π}{6})$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 + \tan (\frac{5 π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \tan (\frac{π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

解题步骤 2.3.2

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

解题步骤 2.3.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \tan (\frac{π}{6}))}$

解题步骤 2.3.4

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.3.5

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 3

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (3 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.3

乘以 $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{1}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.4.5

计算指数。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.3

从 $3 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 0}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.4

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}}$

解题步骤 5.2

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (2)}{9}}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

解题步骤 7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

将 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

解题步骤 7.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

解题步骤 7.3

约去公因数。

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

解题步骤 7.4

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

解题步骤 8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

解题步骤 8.2

重写表达式。

$- \sqrt{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \sqrt{3}$

小数形式：

$- 1.73205080 \dots$

三角学 示例

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