三角学示例

$\tan (x) - \cot (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1

从右边开始。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sin (x)$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 3

重新排序项。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 4

现在考虑方程的左边。

$\tan (x) - \cot (x)$

解题步骤 5

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 5.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x)$

解题步骤 5.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6

减分数。

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解题步骤 6.1

要将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.2

要将 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\cos (x) \sin (x)$ 的形式。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.3.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 6.3.3

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 7

化简每一项。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sin (x)$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 9

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\tan (x) - \cot (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ 是一个恒等式

三角学 示例

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