三角学示例

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

解题步骤 1

计算 $\tan (112.5)$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

$\tan (112.5)$ 的准确值为 $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $112.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

解题步骤 2.1.2

使用正切半角公式。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.7

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.9

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.10

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.11.1

约去公因数。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.11.2

重写表达式。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.12

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.13

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.14

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.15

化简。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.16

运用分配律。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.17

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.17.1

约去公因数。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.17.2

重写表达式。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.18

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.19.1

运用分配律。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.4

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.19.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.5

约去 $2 \sqrt{2} + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.19.5.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.5.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.5.3

从 $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.5.4

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.19.5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.5.4.2

约去公因数。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.5.4.3

重写表达式。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.19.5.4.4

用 $\sqrt{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.20

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.21

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $3 + 2 \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 重写成 ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.4.2

重写表达式。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

解题步骤 2.5.5

化简。

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

解题步骤 2.6

运用分配律。

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

解题步骤 2.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 2.9

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 4

将 $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ 。

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

解题步骤 5

将 $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ 。

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

解题步骤 6

使用 FOIL 方法来展开分母。

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

解题步骤 8

约去 $- 2 + 2 \sqrt{2}$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 8.2.3

重写表达式。

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

解题步骤 9

约去 $- 2 + 2 \sqrt{2}$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

从 $1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

解题步骤 9.2

移动 $\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ 中分母的负号。

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

解题步骤 10

将 $- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ 重写为 $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ 。

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

解题步骤 11

将 $0.60355339$ 乘以 $- 2 + 2 \sqrt{2}$ 。

$- (- 1 \cdot 0.5)$

解题步骤 12

乘以 $- (- 1 \cdot 0.5)$ 。

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解题步骤 12.1

将 $- 1$ 乘以 $0.5$ 。

$- - 0.5$

解题步骤 12.2

将 $- 1$ 乘以 $- 0.5$ 。

$0.5$

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