三角学示例

$\tan^{2} (165)$

解题步骤 1

$\tan (165)$ 的准确值为 $- 2 + \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

${(- \tan (15))}^{2}$

解题步骤 1.2

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

${(- \tan (45 - 30))}^{2}$

解题步骤 1.3

将被减数和减数分开。

${(- \tan (45 - (30)))}^{2}$

解题步骤 1.4

应用角度恒等式的差。

${(- \frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

解题步骤 1.5

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

${(- \frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

解题步骤 1.6

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

解题步骤 1.7

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})}^{2}$

解题步骤 1.8

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.9

化简 $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ 。

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解题步骤 1.9.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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解题步骤 1.9.1.1

将 $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

${(- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}))}^{2}$

解题步骤 1.9.1.2

合并。

${(- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.9.2

运用分配律。

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.9.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.9.3.2

约去公因数。

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.9.3.3

重写表达式。

${(- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.9.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.9.5

化简分母。

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解题步骤 1.9.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.9.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.5.2.1

从 $3 \cdot 1$ 中分解出因数 $3$ 。

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.9.5.2.2

约去公因数。

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.9.5.2.3

重写表达式。

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

解题步骤 1.9.6

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

${(- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))}^{2}$

解题步骤 1.9.7

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})}^{2}$

解题步骤 1.9.8

使用 FOIL 方法来展开分母。

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

解题步骤 1.9.9

化简。

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.10

化简分子。

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解题步骤 1.9.10.1

对 $3 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.10.2

对 $3 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.11

将 ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.12

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 1.9.12.1

运用分配律。

${(- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.12.2

运用分配律。

${(- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.12.3

运用分配律。

${(- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.9.13.1

化简每一项。

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解题步骤 1.9.13.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

${(- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 1.9.13.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.9.13.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.13.1.5.4.1

约去公因数。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.5.4.2

重写表达式。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.1.5.5

计算指数。

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

${(- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.13.3

从 $- 3 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

${(- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.14

约去 $12 - 6 \sqrt{3}$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.14.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

${(- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.14.2

从 $- 6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

${(- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.14.3

从 $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $6$ 。

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.9.14.4

约去公因数。

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解题步骤 1.9.14.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

解题步骤 1.9.14.4.2

约去公因数。

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

解题步骤 1.9.14.4.3

重写表达式。

${(- \frac{2 - \sqrt{3}}{1})}^{2}$

解题步骤 1.9.14.4.4

用 $2 - \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

${(- (2 - \sqrt{3}))}^{2}$

解题步骤 1.9.15

运用分配律。

${(- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 1.9.16

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

${(- 2 - - \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 1.9.17

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 1.9.17.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

${(- 2 + 1 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 1.9.17.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2

将 ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ 。

$(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}$

解题步骤 4.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}$

解题步骤 4.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 4.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3$

解题步骤 4.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 4.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$7 - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$7 - 4 \sqrt{3}$

小数形式：

$0.07179676 \dots$

三角学 示例

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