三角学示例

$\arctan (\tan (\frac{7 π}{12}))$

解题步骤 1

将 $\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\arctan (\tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}))$

解题步骤 2

使用正切半角公式。

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

解题步骤 3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

解题步骤 4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ 。

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解题步骤 4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

解题步骤 4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

解题步骤 4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

解题步骤 4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

解题步骤 4.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}})$

解题步骤 4.7

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

解题步骤 4.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

解题步骤 4.9

在公分母上合并分子。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}})$

解题步骤 4.10

将分子乘以分母的倒数。

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

解题步骤 4.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.1

约去公因数。

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

解题步骤 4.11.2

重写表达式。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}})$

解题步骤 4.12

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ 。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})})$

解题步骤 4.13

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ 。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}})$

解题步骤 4.14

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}})$

解题步骤 4.15

化简。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}})$

解题步骤 4.16

用 $2 + \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})})$

解题步骤 4.17

使用 FOIL 方法展开 $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.17.1

运用分配律。

$\arctan (- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

解题步骤 4.17.2

运用分配律。

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

解题步骤 4.17.3

运用分配律。

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 4.18

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.18.1

化简每一项。

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解题步骤 4.18.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 4.18.1.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 4.18.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}})$

解题步骤 4.18.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}})$

解题步骤 4.18.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}})$

解题步骤 4.18.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3})$

解题步骤 4.18.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\arctan (- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}})$

解题步骤 4.18.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

小数形式：

$- 1.30899693 \dots$

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