三角学示例

$\arctan (\tan (- \frac{3 π}{8}))$

解题步骤 1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\arctan (\tan (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 2

$\tan (\frac{13 π}{8})$ 的准确值为 $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{13 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\arctan (\tan (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

解题步骤 2.2

使用正切半角公式。

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

解题步骤 2.3

由于正切在第四象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

解题步骤 2.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

解题步骤 2.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

解题步骤 2.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

解题步骤 2.4.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

解题步骤 2.4.4.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

解题步骤 2.4.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

解题步骤 2.4.6

在公分母上合并分子。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

解题步骤 2.4.7

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})$

解题步骤 2.4.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}})$

解题步骤 2.4.9

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 2.4.10

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 2.4.11

在公分母上合并分子。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

解题步骤 2.4.12

将分子乘以分母的倒数。

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})$

解题步骤 2.4.13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.13.1

约去公因数。

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})$

解题步骤 2.4.13.2

重写表达式。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})$

解题步骤 2.4.14

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})$

解题步骤 2.4.15

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})$

解题步骤 2.4.16

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})$

解题步骤 2.4.17

化简。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 2.4.18

运用分配律。

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 2.4.19

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.19.1

约去公因数。

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 2.4.19.2

重写表达式。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 2.4.20

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})$

解题步骤 2.4.21

化简每一项。

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解题步骤 2.4.21.1

运用分配律。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 2.4.21.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 2.4.21.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})$

解题步骤 2.4.21.4

化简每一项。

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解题步骤 2.4.21.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})$

解题步骤 2.4.21.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})$

解题步骤 2.4.21.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})$

解题步骤 2.4.21.5

约去 $2 \sqrt{2} + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.21.5.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})$

解题步骤 2.4.21.5.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})$

解题步骤 2.4.21.5.3

从 $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})$

解题步骤 2.4.21.5.4

约去公因数。

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解题步骤 2.4.21.5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})$

解题步骤 2.4.21.5.4.2

约去公因数。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})$

解题步骤 2.4.21.5.4.3

重写表达式。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})$

解题步骤 2.4.21.5.4.4

用 $\sqrt{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})$

解题步骤 2.4.22

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\arctan (- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})$

解题步骤 2.4.23

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\arctan (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\arctan (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})$

小数形式：

$- 1.17809724 \dots$

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