三角学示例

$2 \cos^{2} (15) - 1$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$2 \cos^{2} (45 - 30) - 1$

解题步骤 1.1.2

将被减数和减数分开。

$2 \cos^{2} (45 - (30)) - 1$

解题步骤 1.1.3

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$2 {(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$2 {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

解题步骤 1.1.8.2

在公分母上合并分子。

$2 {(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

解题步骤 1.2

对 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} - 1$

解题步骤 1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} - 1$

解题步骤 1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 (8)} - 1$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 \cdot 8} - 1$

解题步骤 1.4.3

重写表达式。

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.5

将 ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 。

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

解题步骤 1.6

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

解题步骤 1.6.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.6

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.7.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.8

从根式下提出各项。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.9

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.10

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.11

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.7.1.11.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.11.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.12

从根式下提出各项。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.13

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.14

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.15

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.1.16

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{8} - 1$

解题步骤 1.7.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8} - 1$

解题步骤 1.7.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

解题步骤 1.8

约去 $8 + 4 \sqrt{3}$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

解题步骤 1.8.2

从 $4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{8} - 1$

解题步骤 1.8.3

从 $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{8} - 1$

解题步骤 1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 1.8.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (2)} - 1$

解题步骤 1.8.4.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 2} - 1$

解题步骤 1.8.4.3

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3

合并分数。

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解题步骤 3.1

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2}{2}$

解题步骤 4.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

小数形式：

$0.86602540 \dots$

三角学 示例

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