三角学示例

$\cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (\frac{7 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4.4

在公分母上合并分子。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4.8

化简分母。

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解题步骤 1.1.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.2

$\cos (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

解题步骤 1.2.2

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.2.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.2.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.2.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 2

要将 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5

从 $- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 6

从 $\sqrt{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 7

从 $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 8

从 $\sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 9

从 $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ 重写为 $- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ 。

$\frac{- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 10.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

小数形式：

$0.70710678 \dots$

三角学 示例

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