三角学示例

$\cos (2 \arctan (x))$

解题步骤 1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (\arctan (x)) - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arctan (x))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.6.4.1

约去公因数。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.6.4.2

重写表达式。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.3.6.5

化简。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.4

对 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.5

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.5.5

化简。

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.6

约去 $1 + x^{2}$ 和 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.1

乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.6.2.1

从 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.6.2.2

约去公因数。

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

解题步骤 2.1.7

在平面中画出顶点为 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arctan (x))$ 为 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

解题步骤 2.1.8

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.9.1

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.9.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2}$

解题步骤 2.1.9.6.5

化简。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}$

解题步骤 2.1.10

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.10.1

对 $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{{(x \sqrt{1 + x^{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.10.2

对 $x \sqrt{1 + x^{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.11

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.11.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.11.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.11.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.11.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.11.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.11.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.11.5

化简。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.12

约去 $1 + x^{2}$ 和 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.12.1

从 $x^{2} (1 + x^{2})$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.12.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.12.2.1

从 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

解题步骤 2.1.12.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

解题步骤 2.1.12.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$

三角学 示例

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