三角学示例

$\cos (2 \arcsin (x))$

解题步骤 1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (\arcsin (x)) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

${\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.4

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.1

约去公因数。

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.4.4.2

重写表达式。

${((1 + x) (1 - x))}^{1} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.4.5

化简。

$(1 + x) (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$1 (1 - x) + x (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.5.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.6.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + x + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 - x + x - x \cdot x - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.6.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1.5.1

移动 $x$ 。

$1 - x + x - (x \cdot x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.6.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - x + x - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.6.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$1 + 0 - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.6.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

解题步骤 2.7

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$1 - x^{2} - x^{2}$

解题步骤 3

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$1 - 2 x^{2}$

三角学 示例

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