三角学示例

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (112.5)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $112.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4.4

在公分母上合并分子。

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4.5

将分子乘以分母的倒数。

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4.8

化简分母。

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解题步骤 1.1.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.1.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.2.1

对 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.2.2

对 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.4

将 $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.5

将 ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $2 - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 重写成 ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.5.5

化简。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (112.5)$

解题步骤 1.7

$\sin (112.5)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.7.1

将 $112.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (\frac{225}{2})$

解题步骤 1.7.2

使用正弦半角公式。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}})}^{2}$

解题步骤 1.7.3

因为正弦在第二象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.7.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4.7

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.7.4.7.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

解题步骤 1.7.4.8

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

解题步骤 1.7.4.9

化简分母。

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解题步骤 1.7.4.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

解题步骤 1.7.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

解题步骤 1.8

对 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.9

将 ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $2 + \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 重写成 ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 1.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.4.1

约去公因数。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 1.9.4.2

重写表达式。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 1.9.5

化简。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 - \sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{2 - \sqrt{2} - 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.2

从 $0$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.3

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.4

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

小数形式：

$- 0.70710678 \dots$

三角学 示例

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