三角学示例

$\sin (\arctan (2 x) - \arccos (x))$

解题步骤 1

应用角度恒等式的差。

$\sin (\arctan (2 x)) \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, 2 x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (2 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, 2 x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arctan (2 x))$ 为 $\frac{2 x}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ 。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.2

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.2

对 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.3

对 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.6

将 ${\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + 4 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 重写成 ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.4.6.5

化简。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.5

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} x - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.6

乘以 $\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} x$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

组合 $\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x) \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.6.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.7

在平面中画出顶点为 $(1, 2 x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (2 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, 2 x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arctan (2 x))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.8

化简分母。

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解题步骤 2.1.8.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.8.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.9

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.10.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.2

对 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.3

对 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.6

将 ${\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + 4 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 重写成 ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.10.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{1}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.10.6.5

化简。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.1.11

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 2.1.12

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

解题步骤 2.1.13

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.1.14

乘以 $- \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

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解题步骤 2.1.14.1

组合 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 和 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 2.1.14.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + 4 x^{2})}}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} - \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + 4 x^{2})}}{1 + 4 x^{2}}$

三角学 示例

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