三角学示例

$\sin (\arcsin (2 x) + \arccos (2 x))$

解题步骤 1

使用两角和公式。

$\sin (\arcsin (2 x)) \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$2 x \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.2

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$2 x (2 x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 2 x \cdot x + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

移动 $x$ 。

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 \cdot 2 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.6

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (2 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (2 x))$ 为 $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ 。

$4 x^{2} + \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$4 x^{2} + \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 2 x$ 。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sin (\arccos (2 x))$

解题步骤 2.1.10

在平面中画出顶点为 $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ 、 $(2 x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (2 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (2 x))$ 为 $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ 。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.11

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.12

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 2 x$ 。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}$

解题步骤 2.1.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

解题步骤 2.1.14

乘以 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 。

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解题步骤 2.1.14.1

对 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

解题步骤 2.1.14.2

对 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}$

解题步骤 2.1.14.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.1.14.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$

解题步骤 2.1.15

将 ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 。

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解题步骤 2.1.15.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 重写成 ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 x^{2} + {({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.1.15.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.1.15.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.15.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.15.4.1

约去公因数。

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.15.4.2

重写表达式。

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}$

解题步骤 2.1.15.5

化简。

$4 x^{2} + (1 + 2 x) (1 - 2 x)$

解题步骤 2.1.16

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 。

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解题步骤 2.1.16.1

运用分配律。

$4 x^{2} + 1 (1 - 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

解题步骤 2.1.16.2

运用分配律。

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

解题步骤 2.1.16.3

运用分配律。

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

解题步骤 2.1.17

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.17.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.17.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{2} + 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

解题步骤 2.1.17.1.2

将 $- 2 x$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

解题步骤 2.1.17.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 x (- 2 x)$

解题步骤 2.1.17.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x$

解题步骤 2.1.17.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.17.1.5.1

移动 $x$ 。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

解题步骤 2.1.17.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2}$

解题步骤 2.1.17.1.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x - 4 x^{2}$

解题步骤 2.1.17.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$4 x^{2} + 1 + 0 - 4 x^{2}$

解题步骤 2.1.17.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$

解题步骤 2.2

合并 $4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

三角学 示例

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