三角学示例

$\sin (67.5 °) \cos (22.5 °)$

解题步骤 1

$\sin (67.5 °)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $67.5 °$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sin (\frac{135}{2}) \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.2

使用正弦半角公式。

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}) \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.3

由于正弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.7

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.7.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.8

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.9

化简分母。

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解题步骤 1.4.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5 °)$

解题步骤 1.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5 °)$

解题步骤 2

$\cos (22.5 °)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $22.5 °$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

解题步骤 2.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

解题步骤 2.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

解题步骤 2.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 2.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 2.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

解题步骤 2.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.5.6

化简分母。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 3

乘以 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3

对 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{4}$

解题步骤 4

将 ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $2 + \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 重写成 ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{4}$

解题步骤 4.5

化简。

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

小数形式：

$0.85355339 \dots$

三角学 示例

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