三角学示例

$\sin (37.5)$

解题步骤 1

将 $37.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sin (\frac{75}{2})$

解题步骤 2

使用正弦半角公式。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{2}}$

解题步骤 3

由于正弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{2}}$

解题步骤 4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

$\cos (75)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (30 + 45)}{2}}$

解题步骤 4.1.2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}}$

解题步骤 4.1.3

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}}$

解题步骤 4.1.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))}{2}}$

解题步骤 4.1.5

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45))}{2}}$

解题步骤 4.1.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}$

解题步骤 4.1.7

化简 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}$

解题步骤 4.1.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}$

解题步骤 4.1.7.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}$

解题步骤 4.1.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}$

解题步骤 4.1.7.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}}$

解题步骤 4.1.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}}$

解题步骤 4.1.7.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}}{2}}$

解题步骤 4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ 。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

解题步骤 4.4.2

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}}{2}}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

解题步骤 4.5

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.6

乘以 $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$

解题步骤 4.7

将 $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

解题步骤 4.8

化简分母。

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解题步骤 4.8.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.8.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 4.8.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.8.2

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 4.9

将 $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 4.10

合并和化简分母。

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解题步骤 4.10.1

将 $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.10.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 4.10.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 4.10.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 4.10.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.10.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 4.10.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.10.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.10.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.10.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.10.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.10.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 4.10.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

小数形式：

$0.60876142 \dots$

三角学 示例

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