三角学示例

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{11 π}{12})$

解题步骤 1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{11 π}{12})$

解题步骤 2

$\cos (\frac{11 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{12}))$

解题步骤 2.2

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

解题步骤 2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

解题步骤 2.5

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

解题步骤 2.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})))$

解题步骤 2.7

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 2.8

化简 $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 2.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 2.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 2.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 2.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}))$

解题步骤 2.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

解题步骤 3

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 4.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 4.3

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

解题步骤 5.2

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

解题步骤 5.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

解题步骤 5.3

从根式下提出各项。

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

解题步骤 5.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8}$

解题步骤 5.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8}$

解题步骤 5.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2}{8}$

解题步骤 6

约去 $2 \sqrt{3} + 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8}$

解题步骤 6.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8}$

解题步骤 6.3

从 $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8}$

解题步骤 6.4

约去公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)}$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$- \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

小数形式：

$- 0.68301270 \dots$

三角学 示例

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