三角学示例

$\sin (15) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1

$\sin (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sin (45 - 30) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.2

将被减数和减数分开。

$\sin (45 - (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.3

应用角度恒等式的差。

$(\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.4

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.6

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.8.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 1.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 3

乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 4

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 6

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 6.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 6.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.2

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.3

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.4.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.4.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 7.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 8

约去 $2 \sqrt{3} - 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 8.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 8.3

从 $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 8.4

约去公因数。

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解题步骤 8.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 8.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 8.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (15) \sin (45)$

解题步骤 9

$\cos (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 9.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - 30) \sin (45)$

解题步骤 9.2

将被减数和减数分开。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - (30)) \sin (45)$

解题步骤 9.3

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

解题步骤 9.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

解题步骤 9.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

解题步骤 9.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \sin (45)$

解题步骤 9.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

解题步骤 9.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 9.8.1

化简每一项。

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解题步骤 9.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 9.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

解题步骤 9.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

解题步骤 9.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

解题步骤 9.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

解题步骤 9.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 9.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (45)$

解题步骤 9.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (45)$

解题步骤 9.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (45)$

解题步骤 10

乘以 $\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} \sin (45)$

解题步骤 10.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 11.1.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.1.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.1.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.1.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.1.3

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 11.2.1.3.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.1.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.1.4

从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.1.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.1.7

将 $- 1 \sqrt{6}$ 重写为 $- \sqrt{6}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.1.8

将 $- 1 \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.2

从 $3 \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.3

从 $\sqrt{6}$ 中减去 $\sqrt{6}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{16} \sin (45)$

解题步骤 11.2.4

将 $2 \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

解题步骤 12

约去 $2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{2})}{16} \sin (45)$

解题步骤 12.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

解题步骤 12.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{8} \sin (45)$

解题步骤 13

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 14

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

解题步骤 14.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

解题步骤 14.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{8 \cdot 2}$

解题步骤 14.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 \cdot 2}$

解题步骤 14.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{8 \cdot 2}$

解题步骤 14.6

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{16}$

解题步骤 15

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

解题步骤 15.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

解题步骤 15.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.4.1

约去公因数。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

解题步骤 15.4.2

重写表达式。

$\frac{2^{1}}{16}$

解题步骤 15.5

计算指数。

$\frac{2}{16}$

解题步骤 16

约去 $2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{16}$

解题步骤 16.2

约去公因数。

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解题步骤 16.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

解题步骤 16.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

解题步骤 16.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{8}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{8}$

小数形式：

$0.125$

三角学 示例

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