三角学示例

$\sin (105) \sin (75)$

解题步骤 1

$\sin (105)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (75) \sin (75)$

解题步骤 1.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sin (30 + 45) \sin (75)$

解题步骤 1.3

使用两角和公式。

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

解题步骤 1.4

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

解题步骤 1.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

解题步骤 1.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \sin (75)$

解题步骤 1.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (75)$

解题步骤 2

$\sin (75)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (30 + 45)$

解题步骤 2.2

使用两角和公式。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

解题步骤 2.3

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

解题步骤 2.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

解题步骤 2.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

解题步骤 2.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.7

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.7.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 2.7.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 2.7.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 2.7.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

解题步骤 2.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 3

乘以 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.3

对 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{16}$

解题步骤 4

将 ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ 。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

解题步骤 5

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.6

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2 + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.8

从根式下提出各项。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.9

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.10

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.11

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.1.11.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.11.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.12

从根式下提出各项。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

解题步骤 6.1.13

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{16}$

解题步骤 6.1.14

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{16}$

解题步骤 6.1.15

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{16}$

解题步骤 6.1.16

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{16}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 6.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 7

约去 $8 + 4 \sqrt{3}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 7.2

从 $4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

解题步骤 7.3

从 $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

解题步骤 7.4

约去公因数。

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解题步骤 7.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

解题步骤 7.4.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

解题步骤 7.4.3

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

小数形式：

$0.93301270 \dots$

三角学 示例

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