三角学示例

$\sec (\frac{11 π}{24})$

解题步骤 1

将 $\frac{11 π}{24}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sec (\frac{\frac{11 π}{12}}{2})$

解题步骤 2

对 $\sec (\frac{\frac{11 π}{12}}{2})$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\cos (\frac{\frac{11 π}{12}}{2})}$

解题步骤 3

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{11 π}{12})}{2}}}$

解题步骤 4

Change the $\pm$ to $+$ because secant is positive in the first quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{11 π}{12})}{2}}}$

解题步骤 5

化简 $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{11 π}{12})}{2}}}$ 。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

$\cos (\frac{11 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{12})}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.2

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.3

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.5

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.7

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.8

化简 $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 5.1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}}}$

解题步骤 5.1.1.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}}$

解题步骤 5.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}}$

解题步骤 5.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}}{2}}}$

解题步骤 5.1.4

运用分配律。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.2

乘以 $\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}}$

解题步骤 5.2.3

将 $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}}$

解题步骤 5.2.4

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}}$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}$

解题步骤 5.2.4.2

从根式下提出各项。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 5.2.5

将 $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

解题步骤 5.2.6

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.6.1

将 $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}$

解题步骤 5.2.6.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}$

解题步骤 5.2.6.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}$

解题步骤 5.2.6.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}$

解题步骤 5.2.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

解题步骤 5.2.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}}$

解题步骤 5.2.6.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.6.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

解题步骤 5.2.6.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

解题步骤 5.2.6.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 5.2.6.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.7.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 5.2.6.7.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}}$

解题步骤 5.2.6.7.5

计算指数。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.7

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 5.4

将 $\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 5.5

将 $\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ 。

$\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}} \cdot \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 5.6

合并和化简分母。

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解题步骤 5.6.1

将 $\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2} \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 5.6.2

对 $\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{1} \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 5.6.3

对 $\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{1} {\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{1}}$

解题步骤 5.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{2}}$

解题步骤 5.6.6

将 ${\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{2}$ 重写为 $(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$ 重写成 ${((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{({((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.6.4.1

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.6.6.4.2

重写表达式。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{1}}$

解题步骤 5.6.6.5

化简。

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$

解题步骤 5.7

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

从 $4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2})}{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$

解题步骤 5.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.7.2.1

从 $(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2})}{2 \cdot (4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})}$

解题步骤 5.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2})}{2 \cdot (4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})}$

解题步骤 5.7.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

解题步骤 5.8

化简分子。

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解题步骤 5.8.1

运用分配律。

$\frac{2 \sqrt{4 \cdot 2 - \sqrt{6} \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

解题步骤 5.8.2

化简。

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解题步骤 5.8.2.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{8 - \sqrt{6} \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

解题步骤 5.8.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - \sqrt{2} \cdot 2}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

解题步骤 5.8.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

解题步骤 5.9

将 $\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}$

解题步骤 5.10

将 $\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}$

解题步骤 5.11

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{16 - 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2} - \sqrt{12} - 4 \sqrt{2} + \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.12

化简。

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{20 - 8 \sqrt{6}}$

解题步骤 5.13

约去 $2$ 和 $20 - 8 \sqrt{6}$ 的公因数。

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解题步骤 5.13.1

从 $2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{20 - 8 \sqrt{6}}$

解题步骤 5.13.2

约去公因数。

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解题步骤 5.13.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 \cdot 10 - 8 \sqrt{6}}$

解题步骤 5.13.2.2

从 $- 8 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 \cdot 10 + 2 (- 4 \sqrt{6})}$

解题步骤 5.13.2.3

从 $2 (10) + 2 (- 4 \sqrt{6})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 (10 - 4 \sqrt{6})}$

解题步骤 5.13.2.4

约去公因数。

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 (10 - 4 \sqrt{6})}$

解题步骤 5.13.2.5

重写表达式。

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{10 - 4 \sqrt{6}}$

解题步骤 5.14

将 $\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{10 - 4 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{10 + 4 \sqrt{6}}{10 + 4 \sqrt{6}}$ 。

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{10 - 4 \sqrt{6}} \cdot \frac{10 + 4 \sqrt{6}}{10 + 4 \sqrt{6}}$

解题步骤 5.15

将 $\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{10 - 4 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{10 + 4 \sqrt{6}}{10 + 4 \sqrt{6}}$ 。

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (10 + 4 \sqrt{6})}{(10 - 4 \sqrt{6}) (10 + 4 \sqrt{6})}$

解题步骤 5.16

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (10 + 4 \sqrt{6})}{100 + 40 \sqrt{6} - 40 \sqrt{6} - 16 {\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 5.17

化简。

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (10 + 4 \sqrt{6})}{4}$

解题步骤 5.18

约去 $10 + 4 \sqrt{6}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.18.1

从 $\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (10 + 4 \sqrt{6})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 + 2 \sqrt{6}))}{4}$

解题步骤 5.18.2

约去公因数。

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解题步骤 5.18.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 + 2 \sqrt{6}))}{2 (2)}$

解题步骤 5.18.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 + 2 \sqrt{6}))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.18.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 + 2 \sqrt{6})}{2}$

解题步骤 5.19

将 $5 + 2 \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}$ 分成一组。

$\frac{(5 + 2 \sqrt{6}) \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 5.20

运用分配律。

$\frac{(5 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{6} \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 5.21

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{(5 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{(8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \cdot 6}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 5.22

将 $6$ 移到 $8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{(5 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{6 (8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{(5 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{6 (8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

小数形式：

$7.66129757 \dots$

三角学 示例

三角学示例