三角学示例

$\cos (112.5) \cos (67.5)$

解题步骤 1

$\cos (112.5)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $112.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\cos (\frac{225}{2}) \cos (67.5)$

解题步骤 1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}) \cos (67.5)$

解题步骤 1.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4.4

在公分母上合并分子。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4.8

化简分母。

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解题步骤 1.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (67.5)$

解题步骤 1.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (67.5)$

解题步骤 2

$\cos (67.5)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $67.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{135}{2})$

解题步骤 2.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}})$

解题步骤 2.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$

解题步骤 2.4

化简 $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}$

解题步骤 2.4.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 2.4.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 2.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

解题步骤 2.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.4.8

化简分母。

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解题步骤 2.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 3

乘以 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3

对 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{4}$

解题步骤 4

将 ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $2 - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 重写成 ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$- \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$- \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{4}$

解题步骤 4.5

化简。

$- \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

小数形式：

$- 0.14644660 \dots$

三角学 示例

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