三角学示例

$2 y^{4} + 3 y^{3} - 42 y^{2} + 68 y - 24 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$3 y^{3} - 24 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.2

从 $3 y^{3} - 24$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $3 y^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (y^{3}) - 24 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- 24$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 y^{3} + 3 \cdot - 8 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $3 y^{3} + 3 \cdot - 8$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (y^{3} - 8) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.3

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$3 (y^{3} - 2^{3}) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 2$ 。

$3 ((y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2})) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.5

因数。

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解题步骤 1.5.1

化简。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 ((y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2})) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.5.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 ((y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.5.2

去掉多余的括号。

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.6

从 $2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

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解题步骤 1.6.1

从 $2 y^{4}$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) - 42 y^{2} + 68 y = 0$

解题步骤 1.6.2

从 $- 42 y^{2}$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y) + 68 y = 0$

解题步骤 1.6.3

从 $68 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y) + 2 y (34) = 0$

解题步骤 1.6.4

从 $2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y)$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3} - 21 y) + 2 y (34) = 0$

解题步骤 1.6.5

从 $2 y (y^{3} - 21 y) + 2 y (34)$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3} - 21 y + 34) = 0$

解题步骤 1.7

因数。

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解题步骤 1.7.1

使用有理根检验法因式分解 $y^{3} - 21 y + 34$ 。

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解题步骤 1.7.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.7.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

解题步骤 1.7.1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.7.1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{3} - 21 \cdot 2 + 34$

解题步骤 1.7.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 21 \cdot 2 + 34$

解题步骤 1.7.1.3.3

将 $- 21$ 乘以 $2$ 。

$8 - 42 + 34$

解题步骤 1.7.1.3.4

从 $8$ 中减去 $42$ 。

$- 34 + 34$

解题步骤 1.7.1.3.5

将 $- 34$ 和 $34$ 相加。

$0$

解题步骤 1.7.1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $y - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{y^{3} - 21 y + 34}{y - 2}$

解题步骤 1.7.1.5

用 $y^{3} - 21 y + 34$ 除以 $y - 2$ 。

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解题步骤 1.7.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$2$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$21 y$

$34$

解题步骤 1.7.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $y^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$y^{2}$
	$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$

解题步骤 1.7.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			+	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$

解题步骤 1.7.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{3} - 2 y^{2}$ 中的所有符号

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$

解题步骤 1.7.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$

解题步骤 1.7.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$

解题步骤 1.7.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $2 y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$

解题步骤 1.7.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					+	$2 y^{2}$	-	$4 y$

解题步骤 1.7.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 y^{2} - 4 y$ 中的所有符号

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$

解题步骤 1.7.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$

解题步骤 1.7.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$

解题步骤 1.7.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 17 y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$

解题步骤 1.7.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							-	$17 y$	+	$34$

解题步骤 1.7.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 17 y + 34$ 中的所有符号

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							+	$17 y$	-	$34$

解题步骤 1.7.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							+	$17 y$	-	$34$
										$0$

解题步骤 1.7.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$y^{2} + 2 y - 17$

解题步骤 1.7.1.6

将 $y^{3} - 21 y + 34$ 书写为因数的集合。

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y ((y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

解题步骤 1.7.2

去掉多余的括号。

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17) = 0$

解题步骤 1.8

从 $3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)$ 中分解出因数 $y - 2$ 。

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解题步骤 1.8.1

从 $3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)$ 中分解出因数 $y - 2$ 。

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17) = 0$

解题步骤 1.8.2

从 $2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)$ 中分解出因数 $y - 2$ 。

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + (y - 2) (2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

解题步骤 1.8.3

从 $(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + (y - 2) (2 y (y^{2} + 2 y - 17))$ 中分解出因数 $y - 2$ 。

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

解题步骤 1.9

运用分配律。

$(y - 2) (3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 \cdot 4 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot 4 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

解题步骤 1.10.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

解题步骤 1.11

运用分配律。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y \cdot y^{2} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.12.1.1

移动 $y^{2}$ 。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 (y^{2} y) + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

解题步骤 1.12.1.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.12.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 (y^{2} y) + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

解题步骤 1.12.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{2 + 1} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

解题步骤 1.12.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

解题步骤 1.12.2

使用乘法的交换性质重写。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

解题步骤 1.12.3

将 $- 17$ 乘以 $2$ 。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y \cdot y) - 34 y) = 0$

解题步骤 1.13

化简每一项。

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解题步骤 1.13.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.13.1.1

移动 $y$ 。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) - 34 y) = 0$

解题步骤 1.13.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y^{2}) - 34 y) = 0$

解题步骤 1.13.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 4 y^{2} - 34 y) = 0$

解题步骤 1.14

将 $3 y^{2}$ 和 $4 y^{2}$ 相加。

$(y - 2) (7 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} - 34 y) = 0$

解题步骤 1.15

从 $6 y$ 中减去 $34 y$ 。

$(y - 2) (7 y^{2} - 28 y + 12 + 2 y^{3}) = 0$

解题步骤 1.16

重新排序项。

$(y - 2) (2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12) = 0$

解题步骤 1.17

因数。

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解题步骤 1.17.1

以因式分解的形式重写 $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ 。

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解题步骤 1.17.1.1

使用有理根检验法因式分解 $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ 。

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解题步骤 1.17.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.17.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

解题步骤 1.17.1.1.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.17.1.1.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$2 \cdot {0.5}^{3} + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

解题步骤 1.17.1.1.3.2

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 0.125 + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

解题步骤 1.17.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $0.125$ 。

$0.25 + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

解题步骤 1.17.1.1.3.4

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.25 + 7 \cdot 0.25 - 28 \cdot 0.5 + 12$

解题步骤 1.17.1.1.3.5

将 $7$ 乘以 $0.25$ 。

$0.25 + 1.75 - 28 \cdot 0.5 + 12$

解题步骤 1.17.1.1.3.6

将 $0.25$ 和 $1.75$ 相加。

$2 - 28 \cdot 0.5 + 12$

解题步骤 1.17.1.1.3.7

将 $- 28$ 乘以 $0.5$ 。

$2 - 14 + 12$

解题步骤 1.17.1.1.3.8

从 $2$ 中减去 $14$ 。

$- 12 + 12$

解题步骤 1.17.1.1.3.9

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$0$

解题步骤 1.17.1.1.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 y - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12}{2 y - 1}$

解题步骤 1.17.1.1.5

用 $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ 除以 $2 y - 1$ 。

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解题步骤 1.17.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 y$

$1$

$2 y^{3}$

$7 y^{2}$

$28 y$

$12$

解题步骤 1.17.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 y^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 y$ 。

					$y^{2}$
	$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$

解题步骤 1.17.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			+	$2 y^{3}$	-	$y^{2}$

解题步骤 1.17.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 y^{3} - y^{2}$ 中的所有符号

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$

解题步骤 1.17.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$

解题步骤 1.17.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$

解题步骤 1.17.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $8 y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 y$ 。

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$

解题步骤 1.17.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$4 y$

解题步骤 1.17.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 y^{2} - 4 y$ 中的所有符号

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$

解题步骤 1.17.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$

解题步骤 1.17.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$

解题步骤 1.17.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 24 y$ 除以除数中的最高阶项 $2 y$ 。

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$

解题步骤 1.17.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							-	$24 y$	+	$12$

解题步骤 1.17.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 24 y + 12$ 中的所有符号

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							+	$24 y$	-	$12$

解题步骤 1.17.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							+	$24 y$	-	$12$
										$0$

解题步骤 1.17.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$y^{2} + 4 y - 12$

解题步骤 1.17.1.1.6

将 $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ 书写为因数的集合。

$(y - 2) ((2 y - 1) (y^{2} + 4 y - 12)) = 0$

解题步骤 1.17.1.2

使用 AC 法来对 $y^{2} + 4 y - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.17.1.2.1

使用 AC 法来对 $y^{2} + 4 y - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.17.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $4$ 。

$- 2, 6$

解题步骤 1.17.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(y - 2) ((2 y - 1) ((y - 2) (y + 6))) = 0$

解题步骤 1.17.1.2.2

去掉多余的括号。

$(y - 2) ((2 y - 1) (y - 2) (y + 6)) = 0$

解题步骤 1.17.2

去掉多余的括号。

$(y - 2) (2 y - 1) (y - 2) (y + 6) = 0$

解题步骤 1.18

合并指数。

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解题步骤 1.18.1

对 $y - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(y - 2) (y - 2) (2 y - 1) (y + 6) = 0$

解题步骤 1.18.2

对 $y - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(y - 2) (y - 2) (2 y - 1) (y + 6) = 0$

解题步骤 1.18.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(y - 2)}^{1 + 1} (2 y - 1) (y + 6) = 0$

解题步骤 1.18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(y - 2)}^{2} (2 y - 1) (y + 6) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(y - 2)}^{2} = 0$

$2 y - 1 = 0$

$y + 6 = 0$

解题步骤 3

将 ${(y - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 ${(y - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(y - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $y$ 的 ${(y - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $y - 2$ 设为等于 $0$ 。

$y - 2 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 4

将 $2 y - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 y - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 y - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $y$ 的 $2 y - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 y = 1$

解题步骤 4.2.2

将 $2 y = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2 y = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2}$

解题步骤 5

将 $y + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将 $y + 6$ 设为等于 $0$ 。

$y + 6 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 6

最终解为使 ${(y - 2)}^{2} (2 y - 1) (y + 6) = 0$ 成立的所有值。

$y = 2, \frac{1}{2}, - 6$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$y = 2, \frac{1}{2}, - 6$

小数形式：

$y = 2, 0.5, - 6$

三角学 示例

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