三角学示例

$\sin^{2} (2 x) - 3 \sin (2 x) + 1 = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\sin (2 x)$ 。

${(u)}^{2} - 3 u + 1 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 1$ 、 $b = - 3$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6

代入 $\sin (2 x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 8

在 $\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 9

在 $\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ 。

$2 x = 0.39192267$

解题步骤 9.3

将 $2 x = 0.39192267$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $2 x = 0.39192267$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

解题步骤 9.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0.39192267}{2}$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

用 $0.39192267$ 除以 $2$ 。

$x = 0.19596133$

解题步骤 9.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x = (3.14159265) - 0.39192267$

解题步骤 9.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.5.1

从 $3.14159265$ 中减去 $0.39192267$ 。

$2 x = 2.74966997$

解题步骤 9.5.2

将 $2 x = 2.74966997$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 9.5.2.1

将 $2 x = 2.74966997$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

解题步骤 9.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

解题步骤 9.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2.74966997}{2}$

解题步骤 9.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.5.2.3.1

用 $2.74966997$ 除以 $2$ 。

$x = 1.37483498$

解题步骤 9.6

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 9.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 9.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 9.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 9.6.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 9.7

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

列出所有解。

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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