三角学示例

$\cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = - 3$

解题步骤 1

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $\csc^{2} (x) - 1$ 替换 $\cot^{2} (x)$ 。

$(\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = - 3$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$\csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 1 = - 3$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\csc (x)$ 。

${(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = - 3$

解题步骤 4

在等式两边都加上 $3$ 。

$u^{2} + 3 u - 1 + 3 = 0$

解题步骤 5

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$u^{2} + 3 u + 2 = 0$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $u^{2} + 3 u + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $3$ 。

$1, 2$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 1) (u + 2) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

$u + 2 = 0$

解题步骤 8

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 9

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 。

$u + 2 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$u = - 2$

解题步骤 10

最终解为使 $(u + 1) (u + 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = - 1, - 2$

解题步骤 11

代入 $\csc (x)$ 替换 $u$ 。

$\csc (x) = - 1, - 2$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (x) = - 1$

$\csc (x) = - 2$

解题步骤 13

在 $\csc (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- 1)$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$arccsc (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 13.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 13.4.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 13.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 13.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 13.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 13.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 13.6.3

合并分数。

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解题步骤 13.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 13.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 13.6.4

化简分子。

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解题步骤 13.6.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 13.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 13.6.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 13.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

在 $\csc (x) = - 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- 2)$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

$arccsc (- 2)$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 14.3

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 14.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 14.4.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 14.4.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 14.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 14.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 14.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 14.6.3

合并分数。

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解题步骤 14.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 14.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 14.6.4

化简分子。

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解题步骤 14.6.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 14.6.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 14.6.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 14.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

将 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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