三角学示例

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \sin^{2} (x)$ 替换 $\cos^{2} (x)$ 。

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 3

重新排列多项式。

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

解题步骤 5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6

将 $a = - \sqrt{3}$ 、 $b = - 2$ 和 $c = \sqrt{3}$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.3

乘以 $4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.4.1

约去公因数。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.4.4.2

重写表达式。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.4.5

计算指数。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.6

将 $4$ 和 $12$ 相加。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ 。

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.5

将 $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 7.6

合并和化简分母。

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解题步骤 7.6.1

将 $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.6.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.6.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 7.6.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 7.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.6.4.1

约去公因数。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.6.6.4.2

重写表达式。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7.6.6.5

计算指数。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7.7

将 $- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ 中的因式重新排序。

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11

在 $\sin (x) = - \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \sqrt{3}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 12

在 $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 。

$x = 0.6154797$

解题步骤 12.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

解题步骤 12.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 12.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

解题步骤 12.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

解题步骤 12.4.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.6154797$ 。

$x = 2.52611294$

解题步骤 12.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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