三角学示例

$\sin (2 x) = \cos (2 x) + 1$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\cos (2 x)$ 。

$\sin (2 x) - \cos (2 x) = 1$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

化简项。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.1.2

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.2.4

从 $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.2

使用勾股恒等式。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

从 $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 2 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) = 0$

解题步骤 3.3

从 $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x))$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 5

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\sin (x) - \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\sin (x) - \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.4

分离分数。

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 6.2.6

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

解题步骤 6.2.7

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$\tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2.8

在等式两边都加上 $1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 6.2.9

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 6.2.10

化简右边。

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解题步骤 6.2.10.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.11

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.12

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 6.2.12.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.12.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.12.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.12.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 6.2.12.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.12.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 6.2.12.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 6.2.13

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.13.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.2.13.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.2.13.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 6.2.14

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{4} + π n$ 和 $\frac{5 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π}{4} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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