三角学示例

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{8}$

解题步骤 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$

解题步骤 2

化简 $\pm \sqrt{\frac{3}{8}}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\sqrt{\frac{3}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$

解题步骤 2.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

从根式下提出各项。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 2.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 2.4.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 2.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.4.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.7.4.1

约去公因数。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.7.4.2

重写表达式。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 2.4.7.5

计算指数。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}, - \frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 4

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 5

在 $\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{6}}{4})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\arctan (\frac{\sqrt{6}}{4})$ 。

$θ = 0.54946724$

解题步骤 5.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$θ = (3.14159265) + 0.54946724$

解题步骤 5.4

求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.4.1

去掉圆括号。

$θ = 3.14159265 + 0.54946724$

解题步骤 5.4.2

去掉圆括号。

$θ = (3.14159265) + 0.54946724$

解题步骤 5.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.54946724$ 相加。

$θ = 3.69105989$

解题步骤 5.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.6

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = 0.54946724 + π n, 3.69105989 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

在 $\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (- \frac{\sqrt{6}}{4})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\arctan (- \frac{\sqrt{6}}{4})$ 。

$θ = - 0.54946724$

解题步骤 6.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$θ = - 0.54946724 - (3.14159265)$

解题步骤 6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.4.1

将 $2 π$ 加上 $- 0.54946724 - (3.14159265)$ 。

$θ = - 0.54946724 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 6.4.2

得出的角 $2.5921254$ 是正角度且与 $- 0.54946724 - (3.14159265)$ 共边。

$θ = 2.5921254$

解题步骤 6.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 6.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.6.1

将 $π$ 加到 $- 0.54946724$ 以求正角。

$- 0.54946724 + π$

解题步骤 6.6.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 0.54946724$

解题步骤 6.6.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.54946724$ 。

$2.5921254$

解题步骤 6.6.4

列出新角。

$θ = 2.5921254$

解题步骤 6.7

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

列出所有解。

$θ = 0.54946724 + π n, 3.69105989 + π n, 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并解集。

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解题步骤 8.1

将 $0.54946724 + π n$ 和 $3.69105989 + π n$ 合并为 $0.54946724 + π n$ 。

$θ = 0.54946724 + π n, 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $2.5921254 + π n$ 和 $2.5921254 + π n$ 合并为 $2.5921254 + π n$ 。

$θ = 0.54946724 + π n, 2.5921254 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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