三角学示例

$y = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$

解题步骤 1

将表达式重写为 $6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) - 1$ 。

$6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) - 1$

解题步骤 2

使用 $a \cos (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 6$

$b = \frac{2 π}{7}$

$c = \frac{10 π}{7}$

$d = - 1$

解题步骤 3

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $6$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{2 π}{| b |}$ 求周期。

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解题步骤 4.1

求 $6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ 的周期。

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解题步骤 4.1.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.1.2

使用周期公式中的 $\frac{2 π}{7}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

解题步骤 4.1.3

$\frac{2 π}{7}$ 约为 $0.8975979$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

解题步骤 4.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{7}{2 π}$

解题步骤 4.1.5

约去 $2 π$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.1

约去公因数。

$2 π \frac{7}{2 π}$

解题步骤 4.1.5.2

重写表达式。

$7$

解题步骤 4.2

求 $- 1$ 的周期。

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解题步骤 4.2.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.2

使用周期公式中的 $\frac{2 π}{7}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

解题步骤 4.2.3

$\frac{2 π}{7}$ 约为 $0.8975979$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

解题步骤 4.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{7}{2 π}$

解题步骤 4.2.5

约去 $2 π$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$2 π \frac{7}{2 π}$

解题步骤 4.2.5.2

重写表达式。

$7$

解题步骤 4.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$7$

解题步骤 5

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 5.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{\frac{10 π}{7}}{\frac{2 π}{7}}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $\frac{10 π}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

解题步骤 5.4

约去 $2 π$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $10 π$ 中分解出因数 $2 π$ 。

相移： $\frac{2 π (5)}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

相移： $\frac{2 π \cdot 5}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

相移： $\frac{5}{7} \cdot 7$

解题步骤 5.5

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

约去公因数。

相移： $\frac{5}{7} \cdot 7$

解题步骤 5.5.2

重写表达式。

相移： $5$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅： $6$

周期： $7$

相移： $5$ （ $5$ 向右移）

垂直位移： $- 1$

解题步骤 7

选择某些点来画图。

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解题步骤 7.1

求在 $x = 5$ 处的点。

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解题步骤 7.1.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (5)}{7} - \frac{10 π}{7})$

解题步骤 7.1.2

化简结果。

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解题步骤 7.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (5) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.1.2.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{10 π - 10 π}{7})$

解题步骤 7.1.2.1.3

从 $10 π$ 中减去 $10 π$ 。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{0}{7})$

解题步骤 7.1.2.1.4

用 $0$ 除以 $7$ 。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (0)$

解题步骤 7.1.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (5) = - 1 + 6 \cdot 1$

解题步骤 7.1.2.1.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (5) = - 1 + 6$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$f (5) = 5$

解题步骤 7.1.2.3

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 7.2

求在 $x = \frac{27}{4}$ 处的点。

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解题步骤 7.2.1

使用表达式中的 $\frac{27}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{4})}{7} - \frac{10 π}{7})$

解题步骤 7.2.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{4}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{27}{4}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.2.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{27}{2 (2)}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.2.1.3

约去公因数。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{2 \cdot 2}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.2.1.4

重写表达式。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π (\frac{27}{2}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.2.2

组合 $π$ 和 $\frac{27}{2}$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{π \cdot 27}{2} - 10 π}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.2.3

将 $27$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} - 10 π}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.3

要将 $- 10 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} - 10 π \cdot \frac{2}{2}}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.4

组合 $- 10 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} + \frac{- 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.5

在公分母上合并分子。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π - 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.1.6.1

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π - 20 π}{2}}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.6.2

从 $27 π$ 中减去 $20 π$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{7 π}{2}}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.7

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.8

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.8.1

从 $7 π$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.8.2

约去公因数。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

解题步骤 7.2.2.1.8.3

重写表达式。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 7.2.2.1.9

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cdot 0$

解题步骤 7.2.2.1.10

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 0$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{27}{4}) = - 1$

解题步骤 7.2.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.3

求在 $x = \frac{17}{2}$ 处的点。

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解题步骤 7.3.1

使用表达式中的 $\frac{17}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2})}{7} - \frac{10 π}{7})$

解题步骤 7.3.2

化简结果。

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解题步骤 7.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1.2.1.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.3.2.1.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.3.2.1.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π \cdot 17 - 10 π}{7})$

解题步骤 7.3.2.1.2.2

将 $17$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{17 π - 10 π}{7})$

解题步骤 7.3.2.1.3

从 $17 π$ 中减去 $10 π$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{7})$

解题步骤 7.3.2.1.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{7})$

解题步骤 7.3.2.1.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (π)$

解题步骤 7.3.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- \cos (0))$

解题步骤 7.3.2.1.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 7.3.2.1.7

乘以 $6 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 7.3.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cdot - 1$

解题步骤 7.3.2.1.7.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 - 6$

解题步骤 7.3.2.2

从 $- 1$ 中减去 $6$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 7$

解题步骤 7.3.2.3

最终答案为 $- 7$ 。

$- 7$

解题步骤 7.4

求在 $x = \frac{41}{4}$ 处的点。

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解题步骤 7.4.1

使用表达式中的 $\frac{41}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{4})}{7} - \frac{10 π}{7})$

解题步骤 7.4.2

化简结果。

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解题步骤 7.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{4}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 7.4.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.2.1.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{41}{4}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.2.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{41}{2 (2)}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.2.1.3

约去公因数。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{2 \cdot 2}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.2.1.4

重写表达式。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π (\frac{41}{2}) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.2.2

组合 $π$ 和 $\frac{41}{2}$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{π \cdot 41}{2} - 10 π}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.2.3

将 $41$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} - 10 π}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.3

要将 $- 10 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} - 10 π \cdot \frac{2}{2}}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.4

组合 $- 10 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} + \frac{- 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.5

在公分母上合并分子。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π - 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.1.6.1

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π - 20 π}{2}}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.6.2

从 $41 π$ 中减去 $20 π$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{21 π}{2}}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.7

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{21 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.8

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.8.1

从 $21 π$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.8.2

约去公因数。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

解题步骤 7.4.2.1.8.3

重写表达式。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 7.4.2.1.9

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 7.4.2.1.10

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cdot 0$

解题步骤 7.4.2.1.11

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 0$

解题步骤 7.4.2.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{41}{4}) = - 1$

解题步骤 7.4.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.5

求在 $x = 12$ 处的点。

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解题步骤 7.5.1

使用表达式中的 $12$ 替换变量 $x$ 。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (12)}{7} - \frac{10 π}{7})$

解题步骤 7.5.2

化简结果。

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解题步骤 7.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.5.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (12) - 10 π}{7})$

解题步骤 7.5.2.1.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{24 π - 10 π}{7})$

解题步骤 7.5.2.1.3

从 $24 π$ 中减去 $10 π$ 。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{14 π}{7})$

解题步骤 7.5.2.1.4

约去 $14$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.2.1.4.1

从 $14 π$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7})$

解题步骤 7.5.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.5.2.1.4.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7 (1)})$

解题步骤 7.5.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7 \cdot 1})$

解题步骤 7.5.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{1})$

解题步骤 7.5.2.1.4.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (2 π)$

解题步骤 7.5.2.1.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (12) = - 1 + 6 \cos (0)$

解题步骤 7.5.2.1.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (12) = - 1 + 6 \cdot 1$

解题步骤 7.5.2.1.7

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (12) = - 1 + 6$

解题步骤 7.5.2.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$f (12) = 5$

解题步骤 7.5.2.3

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 7.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 5 & 5 \\ \frac{27}{4} & - 1 \\ \frac{17}{2} & - 7 \\ \frac{41}{4} & - 1 \\ 12 & 5 \end{array}$

解题步骤 8

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $6$

周期： $7$

相移： $5$ （ $5$ 向右移）

垂直位移： $- 1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 5 & 5 \\ \frac{27}{4} & - 1 \\ \frac{17}{2} & - 7 \\ \frac{41}{4} & - 1 \\ 12 & 5 \end{array}$

解题步骤 9

三角学 示例

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