三角学示例

$\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 1) (x - 2)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{x (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

解题步骤 3.2

重新排序 $(x - 2) (x - 1)$ 的因式。

$\frac{x (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{x (x - 2) + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 5.4

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 5.5

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 5.6

以因式分解的形式重写 $x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 5.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\frac{x + 1}{x - 2}$

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