三角学示例

$\csc^{2} (75) - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\csc (75)$ 的准确值为 $- \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\csc^{2} (30 + 45) - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.2

使用两角和公式。

${(\frac{\sec (30) \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.3

$\sec (30)$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.4

$\sec (45)$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.5

$\csc (30)$ 的准确值为 $2$ 。

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.6

$\csc (45)$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.7

$\sec (30)$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.8

$\csc (45)$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.9

$\csc (30)$ 的准确值为 $2$ 。

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.10

$\sec (45)$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11

化简 $\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$ 。

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解题步骤 1.1.11.1

化简分子。

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解题步骤 1.1.11.1.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.1.2

组合 $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ 和 $2$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.1.3

组合 $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2

化简分母。

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解题步骤 1.1.11.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2

合并和化简分母。

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解题步骤 1.1.11.2.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.1.11.2.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.11.2.2.6.4.1

约去公因数。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.6.4.2

重写表达式。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.2.6.5

计算指数。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.3

乘以 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.1.11.2.3.1

组合 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.3.2

使用根数乘积法则进行合并。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.4

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 1.1.11.2.5.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.1.11.2.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.11.2.5.6.4.1

约去公因数。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.6.4.2

重写表达式。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.5.6.5

计算指数。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.11.2.6.1

约去公因数。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.6.2

重写表达式。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.7

要将 $2 \sqrt{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.8

组合 $2 \sqrt{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.9

在公分母上合并分子。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.2.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.11.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(\frac{\frac{4 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.4

化简分母。

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解题步骤 1.1.11.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3 \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.11.5.1

把 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{6}$ 组合为一个单根式。

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.2

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.11.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.11.5.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.2.2.2

约去公因数。

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.2.2.3

重写表达式。

${(\frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.3

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

${(\frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.5

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6

合并和化简分母。

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解题步骤 1.1.11.5.6.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.1.11.5.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.11.5.6.6.4.1

约去公因数。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.6.4.2

重写表达式。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.6.6.5

计算指数。

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.5.7

组合 $8$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

${(\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.6

将分子乘以分母的倒数。

${(\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.11.7.1

约去公因数。

${(\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.7.2

重写表达式。

${(8 \sqrt{3} \frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.8

组合 $\frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ 和 $8$ 。

${(\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}} \sqrt{3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.9

组合 $\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

${(\frac{8 \sqrt{3}}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.10

约去 $8$ 和 $2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.11.10.1

从 $8 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.10.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.11.10.2.1

从 $2 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.10.2.2

从 $6 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.10.2.3

从 $2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.10.2.4

约去公因数。

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.10.2.5

重写表达式。

${(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.11

将 $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ 。

${(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.12

将 $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ 。

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.13

使用 FOIL 方法来展开分母。

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - 9 {\sqrt{2}}^{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.14

化简。

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 12})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.15

约去 $4$ 和 $- 12$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.11.15.1

从 $4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{- 12})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.15.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.11.15.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.15.2.2

约去公因数。

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.15.2.3

重写表达式。

${(\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.16

运用分配律。

${(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.17

使用根数乘积法则进行合并。

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.18

乘以 $\sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.1.11.18.1

使用根数乘积法则进行合并。

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{3 \cdot 2}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.18.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.19

化简每一项。

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解题步骤 1.1.11.19.1

将 $3$ 乘以 $6$ 。

${(\frac{\sqrt{18} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.19.2

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.1.11.19.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

${(\frac{\sqrt{9 (2)} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.19.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

${(\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.19.3

从根式下提出各项。

${(\frac{3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.20

约去 $3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}$ 和 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.11.20.1

从 $3 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

${(\frac{3 (\sqrt{2}) - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.20.2

从 $- 3 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $3$ 。

${(\frac{3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.20.3

从 $3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})$ 中分解出因数 $3$ 。

${(\frac{3 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.20.4

移动 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ 中分母的负号。

${(- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6}))}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.21

将 $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ 重写为 $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ 。

${(- (\sqrt{2} - \sqrt{6}))}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.22

运用分配律。

${(- \sqrt{2} - - \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.23

乘以 $- - \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 1.1.11.23.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

${(- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.1.11.23.2

将 $\sqrt{6}$ 乘以 $1$ 。

${(- \sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.2

将 ${(- \sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ 重写为 $(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ 。

$(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.3

使用 FOIL 方法展开 $(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

乘以 $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.4.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.1.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.1.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.1.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

重写表达式。

$2^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.2.5

计算指数。

$2 - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.3

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 1.4.1.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$2 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.3.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$2 - \sqrt{12} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.5

从根式下提出各项。

$2 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.7

乘以 $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.4.1.7.1

使用根数乘积法则进行合并。

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.7.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.8

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.4.1.8.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.9

从根式下提出各项。

$2 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.11

使用根数乘积法则进行合并。

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.12

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{36} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.13

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.1.14

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 6 - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.2

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.4.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (15)$

解题步骤 1.5

$\tan (15)$ 的准确值为 $2 - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 1.5.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (45 - 30)$

解题步骤 1.5.2

将被减数和减数分开。

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (45 - (30))$

解题步骤 1.5.3

应用角度恒等式的差。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

解题步骤 1.5.4

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

解题步骤 1.5.5

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

解题步骤 1.5.6

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})}^{2}$

解题步骤 1.5.7

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.5.8

化简 $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ 。

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解题步骤 1.5.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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解题步骤 1.5.8.1.1

将 $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.1.2

合并。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.2

运用分配律。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.8.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.3.2

约去公因数。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.3.3

重写表达式。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.5

化简分母。

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解题步骤 1.5.8.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.8.5.2.1

从 $3 \cdot 1$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.5.2.2

约去公因数。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.5.2.3

重写表达式。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.6

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.7

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.8

使用 FOIL 方法来展开分母。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.9

化简。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.10

化简分子。

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解题步骤 1.5.8.10.1

对 $3 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.10.2

对 $3 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.11

将 ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.12

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 1.5.8.12.1

运用分配律。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.12.2

运用分配律。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.12.3

运用分配律。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.8.13.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.8.13.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 1.5.8.13.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.5.8.13.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.8.13.1.5.4.1

约去公因数。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.5.4.2

重写表达式。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.1.5.5

计算指数。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.13.3

从 $- 3 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.14

约去 $12 - 6 \sqrt{3}$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.8.14.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.14.2

从 $- 6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.14.3

从 $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $6$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.14.4

约去公因数。

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解题步骤 1.5.8.14.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.14.4.2

约去公因数。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.14.4.3

重写表达式。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{2 - \sqrt{3}}{1})}^{2}$

解题步骤 1.5.8.14.4.4

用 $2 - \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 1.6

将 ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - ((2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))$

解题步骤 1.7

使用 FOIL 方法展开 $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 1.7.1

运用分配律。

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

解题步骤 1.7.3

运用分配律。

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

解题步骤 1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

解题步骤 1.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

解题步骤 1.8.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

解题步骤 1.8.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 1.8.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})$

解题步骤 1.8.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})$

解题步骤 1.8.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

解题步骤 1.8.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

解题步骤 1.8.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})$

解题步骤 1.8.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})$

解题步骤 1.8.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.8.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

解题步骤 1.8.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

解题步骤 1.8.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

解题步骤 1.8.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1.5.4.1

约去公因数。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

解题步骤 1.8.1.5.4.2

重写表达式。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1})$

解题步骤 1.8.1.5.5

计算指数。

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3)$

解题步骤 1.8.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$8 - 4 \sqrt{3} - (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3})$

解题步骤 1.8.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - (7 - 4 \sqrt{3})$

解题步骤 1.9

运用分配律。

$8 - 4 \sqrt{3} - 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3})$

解题步骤 1.10

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - 7 - (- 4 \sqrt{3})$

解题步骤 1.11

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$8 - 4 \sqrt{3} - 7 + 4 \sqrt{3}$

解题步骤 2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1

从 $8$ 中减去 $7$ 。

$1 - 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$

解题步骤 2.2

将 $- 4 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ 相加。

$1 + 0$

解题步骤 2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

三角学 示例

三角学示例