三角学示例

$\cos^{6} (a) + \sin^{6} (a)$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

将 $\cos^{6} (a)$ 重写为 ${(\cos^{2} (a))}^{3}$ 。

${(\cos^{2} (a))}^{3} + \sin^{6} (a)$

解题步骤 1.2

将 $\sin^{6} (a)$ 重写为 ${(\sin^{2} (a))}^{3}$ 。

${(\cos^{2} (a))}^{3} + {(\sin^{2} (a))}^{3}$

解题步骤 2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = \cos^{2} (a)$ 和 $b = \sin^{2} (a)$ 。

$(\cos^{2} (a) + \sin^{2} (a)) ({(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2})$

解题步骤 3

重新整理项。

$(\sin^{2} (a) + \cos^{2} (a)) ({(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2})$

解题步骤 4

使用勾股恒等式。

$1 ({(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2})$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

将 ${(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${(\cos^{2} (a))}^{2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

将 ${(\cos^{2} (a))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${\cos (a)}^{2 \cdot 2} - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\cos^{4} (a) - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {(\sin^{2} (a))}^{2}$

解题步骤 5.2.2

将 ${(\sin^{2} (a))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos^{4} (a) - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + {\sin (a)}^{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\cos^{4} (a) - \cos^{2} (a) \sin^{2} (a) + \sin^{4} (a)$

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