三角学示例

${(2 \cos (x) - 2 \sin (x))}^{2} + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 \cos (x) - 2 \sin (x))}^{2}$ 重写为 $(2 \cos (x) - 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ 。

$(2 \cos (x) - 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 \cos (x) - 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2 \cos (x)$ 和 $- 2 \sin (x)$ 重新排序。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.3

添加圆括号。

$4 \cos^{2} (x) - 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.4

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$4 \cos^{2} (x) - 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.5

使用正弦倍角公式。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.6

添加圆括号。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.7

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.8

使用正弦倍角公式。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.9

乘以 $- 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.3.1.9.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.9.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.9.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3.2

从 $- 2 \sin (2 x)$ 中减去 $2 \sin (2 x)$ 。

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.4

移动 $4 \sin^{2} (x)$ 。

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.5

从 $4 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.6

从 $4 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.7

从 $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.8

重新整理项。

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.9

使用勾股恒等式。

$4 \cdot 1 - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 1.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 2

合并 $4 - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1

将 $- 4 \sin (2 x)$ 和 $4 \sin (2 x)$ 相加。

$4 + 0$

解题步骤 2.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

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