三角学示例

${(1 + \tan (x))}^{2} + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 + \tan (x))}^{2}$ 重写为 $(1 + \tan (x)) (1 + \tan (x))$ 。

$(1 + \tan (x)) (1 + \tan (x)) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \tan (x)) (1 + \tan (x))$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$1 (1 + \tan (x)) + \tan (x) (1 + \tan (x)) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 \tan (x) + \tan (x) (1 + \tan (x)) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.3

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.4

乘以 $\tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.4.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \tan (x) + \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.4.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \tan (x) + \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \tan (x) + \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \tan (x) + \tan (x) + \tan^{2} (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.3.2

将 $\tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

解题步骤 1.4

将 ${(1 - \tan (x))}^{2}$ 重写为 $(1 - \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + (1 - \tan (x)) (1 - \tan (x))$

解题步骤 1.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 (1 - \tan (x)) - \tan (x) (1 - \tan (x))$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) - \tan (x) (1 - \tan (x))$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) - \tan (x) \cdot 1 - \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 + 1 (- \tan (x)) - \tan (x) \cdot 1 - \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 1.6.1.2

将 $- \tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) \cdot 1 - \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 1.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) - \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 1.6.1.4

乘以 $- \tan (x) (- \tan (x))$ 。

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解题步骤 1.6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) \tan (x)$

解题步骤 1.6.1.4.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + \tan (x) \tan (x)$

解题步骤 1.6.1.4.3

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x)$

解题步骤 1.6.1.4.4

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)$

解题步骤 1.6.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.6.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.6.2

从 $- \tan (x)$ 中减去 $\tan (x)$ 。

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

合并 $1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan (x) + \tan^{2} (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.1

从 $2 \tan (x)$ 中减去 $2 \tan (x)$ 。

$1 + 0 + \tan^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + \tan^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 + \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.3

将 $\tan^{2} (x)$ 和 $\tan^{2} (x)$ 相加。

$2 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.4

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1) + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5

从 $2 \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1) + 2 (\tan^{2} (x))$

解题步骤 2.6

从 $2 (1) + 2 (\tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1 + \tan^{2} (x))$

解题步骤 3

重新整理项。

$2 (\tan^{2} (x) + 1)$

解题步骤 4

使用勾股恒等式。

$2 \sec^{2} (x)$

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