三角学示例

$\frac{\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sec (x)$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$\frac{(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 3

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

运用分配律。

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

合并 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

按照 $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ 和 $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ 重新排列因数。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.1.2

将 $- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ 相加。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.1.3

将 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 和 $0$ 相加。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.3

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.3

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

运用分配律。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5.3.2

合并。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

乘以 $- \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

组合 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 和 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{2 + 2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7

约去 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 8

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 9

将 $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 11

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{\sin (x)}$ 和 $b = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 12

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$(\csc (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 12.1.2

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$(\csc (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 12.1.3

分离分数。

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 12.1.4

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 12.1.5

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 12.2

在公分母上合并分子。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 13

使用勾股恒等式。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 14

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

约去 $\sin^{2} (x)$ 和 $\sin (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 14.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.2.1

乘以 $1$ 。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

解题步骤 14.1.2.2

约去公因数。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

解题步骤 14.1.2.3

重写表达式。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x)}{1}$

解题步骤 14.1.2.4

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \sin (x)$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$\csc (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 15

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

将 $\csc (x) \sin (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 15.2

约去公因数。

$1 + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

三角学 示例

三角学示例