三角学示例

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $\sec^{4} (x)$ 重写为 ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ 。

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 1.2

将 $\tan^{4} (x)$ 重写为 ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ 。

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sec^{2} (x)$ 和 $b = \tan^{2} (x)$ 。

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sec (x)$ 和 $b = \tan (x)$ 。

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 2

约去 $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

约去公因数。

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 2.2

用 $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ 除以 $1$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

合并 $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.1

按照 $\sec (x) (- \tan (x))$ 和 $\tan (x) \sec (x)$ 重新排列因数。

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 4.1.2

将 $- \sec (x) \tan (x)$ 和 $\sec (x) \tan (x)$ 相加。

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 4.1.3

将 $\sec (x) \sec (x)$ 和 $0$ 相加。

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

乘以 $\sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 4.2.1.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 4.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 4.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 4.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

解题步骤 4.2.3

乘以 $- \tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

解题步骤 4.2.3.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

解题步骤 4.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 4.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$1$

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