三角学示例

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $b = \frac{1}{\cos (x)}$ 。

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$(\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 4.1.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$(\tan (x) + \sec (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 5

使用 FOIL 方法展开 $(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\tan (x) (\tan (x) - \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

合并 $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1

按照 $\tan (x) (- \sec (x))$ 和 $\sec (x) \tan (x)$ 重新排列因数。

$\tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

解题步骤 6.1.2

将 $- \sec (x) \tan (x)$ 和 $\sec (x) \tan (x)$ 相加。

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sec (x) (- \sec (x))$

解题步骤 6.1.3

将 $\tan (x) \tan (x)$ 和 $0$ 相加。

$\tan (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

乘以 $\tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

解题步骤 6.2.1.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

解题步骤 6.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sec (x) (- \sec (x))$

解题步骤 6.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

解题步骤 6.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\tan^{2} (x) - \sec (x) \sec (x)$

解题步骤 6.2.3

乘以 $- \sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))$

解题步骤 6.2.3.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

解题步骤 6.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan^{2} (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 6.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

解题步骤 6.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $\tan^{2} (x)$ 和 $- \sec^{2} (x)$ 重新排序。

$- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 6.3.2

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 6.3.3

从 $\tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$

解题步骤 6.3.4

从 $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

解题步骤 7

使用勾股恒等式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

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