三角学示例

${(3 (\cos (48) + i \sin (48)))}^{5}$

解题步骤 1

运用分配律。

${(3 \cos (48) + 3 (i \sin (48)))}^{5}$

解题步骤 2

使用二项式定理。

${(3 \cos (48))}^{5} + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

对 $3 \cos (48)$ 运用乘积法则。

$3^{5} \cos^{5} (48) + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.2

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.3

对 $3 \cos (48)$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{4} \cos^{4} (48)) (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.4

通过指数相加将 $3^{4}$ 乘以 $3$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

移动 $3$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3 \cdot 3^{4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.4.2

将 $3$ 乘以 $3^{4}$ 。

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解题步骤 3.1.4.2.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{1} \cdot 3^{4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{1 + 4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.4.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{5} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.5

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 5 (243 \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.6

将 $243$ 乘以 $5$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.7

对 $3 \cos (48)$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 10 (3^{3} \cos^{3} (48)) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.8

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 10 (27 \cos^{3} (48)) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.9

将 $27$ 乘以 $10$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.10

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.10.1

对 $3 i \sin (48)$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.10.2

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (9 i^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.12

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.13

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (- 9 \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.14

将 $- 9$ 乘以 $270$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.15

对 $3 \cos (48)$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 (3^{2} \cos^{2} (48)) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.16

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 (9 \cos^{2} (48)) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.17

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.18

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.18.1

对 $3 i \sin (48)$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) ({(3 i)}^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.18.2

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (3^{3} i^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.19

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 i^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.20

因式分解出 $i^{2}$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.21

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.22

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (- i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.23

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (- 27 i \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.24

将 $- 27$ 乘以 $90$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) (i \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.25

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.26

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.26.1

对 $3 i \sin (48)$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) ({(3 i)}^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.26.2

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (3^{4} i^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.27

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 i^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.28

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 3.1.28.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.28.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 {(- 1)}^{2} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.28.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 \cdot 1 \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.29

将 $81$ 乘以 $1$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.30

将 $81$ 乘以 $15$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

解题步骤 3.1.31

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.31.1

对 $3 i \sin (48)$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + {(3 i)}^{5} \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.1.31.2

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 3^{5} i^{5} \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.1.32

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i^{5} \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.1.33

因式分解出 $i^{4}$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 (i^{4} i) \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.1.34

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 3.1.34.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 ({(i^{2})}^{2} i) \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.1.34.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 ({(- 1)}^{2} i) \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.1.34.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 (1 i) \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.1.35

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

将 $243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$ 中的因式重新排序。

$243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.2.2

将 $243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48)$ 和 $- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48)$ 重新排序。

$- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

解题步骤 3.2.3

将 $- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48)$ 和 $1215 \cos (48) \sin^{4} (48)$ 重新排序。

$1215 \cos (48) \sin^{4} (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

三角学 示例

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