三角学示例

$\frac{12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

解题步骤 1

约去 $12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3$ 和 $3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $12 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

解题步骤 1.2

从 $15 \sin (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

解题步骤 1.3

从 $3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

解题步骤 1.4

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 \cdot 1}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

解题步骤 1.5

从 $3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

解题步骤 1.6

约去公因数。

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解题步骤 1.6.1

从 $3 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 9 \sin (x) + 6}$

解题步骤 1.6.2

从 $9 \sin (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x)) + 6}$

解题步骤 1.6.3

从 $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 6}$

解题步骤 1.6.4

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.6.5

从 $3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

解题步骤 1.6.6

约去公因数。

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

解题步骤 1.6.7

重写表达式。

$\frac{4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

使 $u = \sin (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin (x)$ 。

$\frac{4 u^{2} + 5 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 2.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ 并且它们的和为 $b = 5$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $5 u$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{4 u^{2} + 5 (u) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 2.2.1.2

把 $5$ 重写为 $1$ 加 $4$

$\frac{4 u^{2} + (1 + 4) u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 2.2.1.3

运用分配律。

$\frac{4 u^{2} + 1 u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 2.2.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 u^{2} + u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(4 u^{2} + u) + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 2.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 2.2.3

通过因式分解出最大公因数 $4 u + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(4 u + 1) (u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

使 $u = \sin (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin (x)$ 。

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 3 u + 2}$

解题步骤 3.2

使用 AC 法来对 $u^{2} + 3 u + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $3$ 。

$1, 2$

解题步骤 3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(u + 1) (u + 2)}$

解题步骤 3.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

解题步骤 4

约去 $\sin (x) + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$\frac{4 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 2}$

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