三角学示例

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{6}$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{6} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3

要将 $- \frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 π - 3 π}{12}$

解题步骤 3.6.3

从 $2 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{- π}{12}$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{π}{12}$

解题步骤 4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 5.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x + \frac{π}{4} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.1.2

合并分数。

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解题步骤 5.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 5.1.3

化简分子。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x + \frac{π}{4} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 5.1.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.2

要将 $\frac{5 π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.3

要将 $- \frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\frac{5 π}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

解题步骤 5.2.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{5 π \cdot 2 - π \cdot 3}{12}$

解题步骤 5.2.6

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{10 π - π \cdot 3}{12}$

解题步骤 5.2.6.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{10 π - 3 π}{12}$

解题步骤 5.2.6.3

从 $10 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 6

求 $\sin (x + \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{12}$ 以求正角。

$- \frac{π}{12} + 2 π$

解题步骤 7.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 7.3

合并分数。

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解题步骤 7.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 12 - π}{12}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{24 π - π}{12}$

解题步骤 7.4.2

从 $24 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{23 π}{12}$

解题步骤 7.5

列出新角。

$x = \frac{23 π}{12}$

解题步骤 8

$\sin (x + \frac{π}{4})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{23 π}{12} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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