三角学示例

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

将 $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ 中的每一项除以 $\csc (\frac{x}{2})$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ 中的每一项都除以 $\csc (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $\csc (\frac{x}{2})$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

解题步骤 1.2.1.2

重写表达式。

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

将 $\csc (\frac{x}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}}$

解题步骤 1.3.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}$ 。

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.3.3

化简。

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解题步骤 1.3.3.1

对 $\sin (\frac{x}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.3.3.2

对 $\sin (\frac{x}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin^{1} (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 = {\sin (\frac{x}{2})}^{1 + 1}$

解题步骤 1.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

解题步骤 2

将方程重写为 $\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$ 。

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$

解题步骤 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm 1$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (\frac{x}{2}) = 1, - 1$

解题步骤 6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

解题步骤 7

在 $\sin (\frac{x}{2}) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 7.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = π$

解题步骤 7.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

解题步骤 7.5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.5.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

解题步骤 7.5.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

解题步骤 7.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.5.2.2.1

化简 $2 (π - \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 7.5.2.2.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 7.5.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 7.5.2.2.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 7.5.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.5.2.2.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.2.2.1.2.3.1

约去公因数。

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.5.2.2.1.2.3.2

重写表达式。

$x = π \cdot 2 - π$

解题步骤 7.5.2.2.1.3

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = 2 π - π$

解题步骤 7.5.2.2.1.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 7.6

求 $\sin (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 7.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.6.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 7.6.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.6.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 7.6.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 7.7

$\sin (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

在 $\sin (\frac{x}{2}) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = - π$

解题步骤 8.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 8.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 8.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 8.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8.5.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = 3 π$

解题步骤 8.6

求 $\sin (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 8.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.6.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 8.6.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.6.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 8.6.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 8.7

将 $4 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 8.7.1

将 $4 π$ 加到 $- π$ 以求正角。

$- π + 4 π$

解题步骤 8.7.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$3 π$

解题步骤 8.7.3

列出新角。

$x = 3 π$

解题步骤 8.8

$\sin (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

列出所有解。

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并答案。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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