三角学示例

$\csc (x) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \csc (x)$

解题步骤 1

化简 $\frac{3}{2} \csc (x)$ 。

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解题步骤 1.1

重写。

$\csc (x) - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \csc (x)$

解题步骤 1.2

通过加上各个零进行化简。

$\csc (x) - 1 = \frac{3}{2} \csc (x)$

解题步骤 1.3

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) - 1 = \frac{3 \csc (x)}{2}$

解题步骤 2

将所有包含 $\csc (x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $\frac{3 \csc (x)}{2}$ 。

$\csc (x) - 1 - \frac{3 \csc (x)}{2} = 0$

解题步骤 2.2

要将 $\csc (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\csc (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.3

组合 $\csc (x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\csc (x) \cdot 2}{2} - \frac{3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\csc (x) \cdot 2 - 3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.5

从 $\csc (x) \cdot 2$ 中减去 $3 \csc (x)$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $\csc (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{2 \cdot \csc (x) - 3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

从 $2 \cdot \csc (x)$ 中减去 $3 \csc (x)$ 。

$\frac{- \csc (x)}{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\csc (x)}{2} - 1 = 0$

解题步骤 3

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \frac{\csc (x)}{2} = 1$

解题步骤 4

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) = - 2 \cdot 1$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

化简 $- 2 (- \frac{\csc (x)}{2})$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1.1

将 $- \frac{\csc (x)}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.1.1.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.1.1.4

重写表达式。

$- - \csc (x) = - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.1.2

乘。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \csc (x) = - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.1.2.2

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) = - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) = - 2$

解题步骤 6

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- 2)$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

$arccsc (- 2)$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 8

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 9

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 9.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 9.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 10

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 11.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 11.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 11.3

合并分数。

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解题步骤 11.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 11.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 11.4

化简分子。

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解题步骤 11.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 11.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 11.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 12

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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