三角学示例

$\cos (2 x) = 3 \sin (x)$

解题步骤 1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x)$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x) - 1$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $3 \sin (x)$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = - 1$

解题步骤 4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u = - 1$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

解题步骤 4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4

将 $a = - 2$ 、 $b = - 3$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.5.1.2.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.5.1.3

将 $9$ 和 $8$ 相加。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{- 4}$

解题步骤 4.5.3

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 4.7

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 4.8

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 4.9

在 $\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.9.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 4.10

在 $\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

解题步骤 4.10.2

化简右边。

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解题步骤 4.10.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ 。

$x = 0.28460296$

解题步骤 4.10.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$

解题步骤 4.10.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 4.10.4.1

从 $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 4.10.4.2

得出的角 $2.85698969$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ 共边。

$x = 2.85698969$

解题步骤 4.10.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.10.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.10.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.11

列出所有解。

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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