三角学示例

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

重写。

$0 + 0 + {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.2

将

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 重写为

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.3

使用 FOIL 方法展开

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.1.1

乘以

$\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.1.1

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4.1.1.2

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4.1.1.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4.1.1.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4.1.2

乘以

$\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.1

对

$\cos (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4.1.2.2

对

$\cos (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4.1.2.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4.1.2.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4.2

重新排序

$\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.4.3

将

$\cos (x) \sin (x)$ 和

$\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.5

移动

$\cos^{2} (x)$ 。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.6

使用勾股恒等式。

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

将

$2 \cos (x)$ 和

$\sin (x)$ 重新排序。

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.7.2

将

$\sin (x)$ 和

$2$ 重新排序。

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.7.3

使用正弦倍角公式。

$1 + \sin (2 x) = 1 + \sin (2 x)$

解题步骤 2

将所有包含

$\sin (2 x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去

$\sin (2 x)$ 。

$1 + \sin (2 x) - \sin (2 x) = 1$

解题步骤 2.2

合并

$1 + \sin (2 x) - \sin (2 x)$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

从

$\sin (2 x)$ 中减去

$\sin (2 x)$ 。

$1 + 0 = 1$

解题步骤 2.2.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$1 = 1$

解题步骤 3

因为

$1 = 1$ ，所以方程对于

$x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

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