三角学示例

${(1 + i)}^{6}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.5

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.7

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.8

一的任意次幂都为一。

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.9

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.10

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.11

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.12

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.13

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.14

一的任意次幂都为一。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.15

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.16

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.16.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.16.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.16.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.17

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.18

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

解题步骤 2.1.19

因式分解出 $i^{4}$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

解题步骤 2.1.20

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.20.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

解题步骤 2.1.20.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

解题步骤 2.1.20.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

解题步骤 2.1.21

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

解题步骤 2.1.22

因式分解出 $i^{4}$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

解题步骤 2.1.23

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.23.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

解题步骤 2.1.23.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

解题步骤 2.1.23.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

解题步骤 2.1.24

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

解题步骤 2.1.25

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $15$ 。

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 14$ 和 $15$ 相加。

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

解题步骤 2.2.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

解题步骤 2.2.2.3

将 $0$ 和 $6 i$ 相加。

$6 i - 20 i + 6 i$

解题步骤 2.2.3

从 $6 i$ 中减去 $20 i$ 。

$- 14 i + 6 i$

解题步骤 2.2.4

将 $- 14 i$ 和 $6 i$ 相加。

$- 8 i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = 0$ 和 $b = - 8$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{64}$

解题步骤 6.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 6.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 8$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

解题步骤 8

因为自变量无定义且 $b$ 是负数，所以复平面上该点的角度为 $\frac{3 π}{2}$ 。

$θ = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9

代入 $θ = \frac{3 π}{2}$ 和 $| z | = 8$ 的值。

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

三角学 示例

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