三角学示例

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) = - 2$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$(1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) = - 2$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = - 2$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$- {(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = - 2$

解题步骤 4

在等式两边都加上 $2$ 。

$- u^{2} + 2 u + 1 + 2 = 0$

解题步骤 5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

解题步骤 6

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.1

从 $- u^{2} + 2 u + 3$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

解题步骤 6.1.2

从 $2 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- u^{2} - (- 2 u) + 3 = 0$

解题步骤 6.1.3

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 6.1.4

从 $- u^{2} - (- 2 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 6.1.5

从 $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

解题步骤 6.2

因数。

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解题步骤 6.2.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 6.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

解题步骤 6.2.2

去掉多余的括号。

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 8

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

解题步骤 8.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$u = 3$

解题步骤 9

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 10

最终解为使 $- (u - 3) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 3, - 1$

解题步骤 11

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = 3, - 1$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = 3$

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 13

在 $\cos (x) = 3$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $3$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 14

在 $\cos (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 14.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 14.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 14.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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