三角学示例

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 1$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$1 - \cos^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 1$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$- \cos^{2} (x) + 1 = \cos^{2} (x) - 1$

解题步骤 3

将所有包含 $\cos (x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$- \cos^{2} (x) + 1 - \cos^{2} (x) = - 1$

解题步骤 3.2

从 $- \cos^{2} (x)$ 中减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = - 1$

解题步骤 4

将所有不包含 $\cos (x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

解题步骤 4.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$- 2 \cos^{2} (x) = - 2$

解题步骤 5

将 $- 2 \cos^{2} (x) = - 2$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 2 \cos^{2} (x) = - 2$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 2$ 。

$\cos^{2} (x) = 1$

解题步骤 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 7

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (x) = \pm 1$

解题步骤 8

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 8.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = 1, - 1$

解题步骤 9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 10

在 $\cos (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 10.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 10.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 10.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 10.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

在 $\cos (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 11.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 11.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 11.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

列出所有解。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

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